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Was sind Aussagen?

Wie in vielen anderen Wissenschaften auch, gibt es in der Mathematik eine eigene Fachsprache. Teile davon, hast du bereits in der Unterstufe kennen gelernt.
Aussagen sind Behauptungen, die entweder wahr oder falsch sein können. Sie beinhalten Eigenschaften und Beziehungen zwischen z.B. Zahlen oder geometrischen Figuren. Sie können sich auf eine Eigenschaft von einem einzelnen "Objekt" beziehen oder auf eine Eigenschaft von mehreren Objekten.
Bezieht sich eine Aussage auf die Eigenschaft mehrerer Objekte, so nennt man die Gesamtheit dieser Objekte die Grundmenge G (meist $NN, ZZ, QQ, RR$) der Aussage. Formuliert werden diese Aussagen mit Hilfe von Variablen und Quantoren:

$AA$ Für alle ... Allquantor Allaussagen
$EE$ Für mindestens ein ... Existenzquantor Existenzaussagen
$EE!$ Für genau ein ... Eindeutigkeitsquantor

Beispiel Allaussagen: Alle geraden natürlichen Zahlen sind durch 2 teilbar; formal: $AA x in NN_(g) : 2 | x$

Beispiel Existenzaussage: Es gibt mindestens eine ganze Zahl zwischen 4 und 10, die Primzahl ist; formal: $EE x in ZZ, 4 < x < 10 : x in$

Eine Allaussage ist falsch, sobald man ein einziges Gegenbeispiel gefunden hat (man falsifiziert!

Eine Existenzaussage ist wahr, sobald man ein einziges Beispiel angeben kann (man verifiziert)!

Das Gegenteil einer Aussage ist ihre Negation bzw. Gegenaussage: Aussage a - Negation $not$ a (non a oder nicht a). Statt des Negationssymbols kann man auch ein Symbol durchstreichen, um eine Aussage zu verneinen, z.B. $!in$ oder das Symbol der gegenteiligen Eigenschaft verwenden, z.B. < statt $>=$.
Negiert man eine Allaussage, so führt dies zu einer Existenzaussage bezüglich der gegenteiligen Eigenschaft. Negiert man eine Existenzaussage, so führt dies zu einer Allaussage bezüglich der gegenteiligen Eigenschaft.

Beispiele:

Mengen - Wiederholung und Vertiefung

Zahlenmengen im Überblick:

$NN$ ... Menge der natürlichen Zahlen ${0, 1, 2, 3, ...}$
$ZZ$ ... Menge der ganzen Zahlen ${..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$
$QQ$ ... Menge der rationalen Zahlen (ganze Zahlen und Brüche)
$RR$ ... Menge der reellen Zahlen (alle Zahlen)

Aufzählendes und beschreibendes Verfahren siehe erste Klasse

Was Mengen mit Aussagen zu tun haben:
Erfüllen Elemente der Grundmenge eine gegebene Eigenschaft, so bilden diese eine Teilmenge A der Grundmenge G. Jene Elemente, die die Eigenschaft nicht erfüllen, bilden ebenfalls eine Teilmenge, die so genannte Komplementärmenge A' (Ergänzungsmenge). Die Mengen A und A' ergänzen einander zur Grundmenge G.
Es gilt: A = G \ A' (A ist G ohne A') und A' = G \ A

Beispiel: Grundmenge $NN$, Eigenschaft $x >= 4$; $text(A)={4, 5, 6, ...}; text(A') = {0, 1, 2, 3}$

Die Menge der reellen Zahlen und ihre Teilmengen, kann man im aufzählenden Verfahren nicht angeben, aber mit Hilfe von Intervallen. Diese werden mit eckigen Klammern [ und ] angegeben. Zusätzlich können Teilmengen der reellen Zahlen auch auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Dabei werden Randpunkte, die zur Menge gehören mit vollen Punkten gekennzeichnet und Randpunkte, die nicht zur Menge gehören, mit leeren Punkten.

Beschreibung Intervall Name Zahlengerade Bild
2 $<=$ $x$ $<=$ 9 $[$2; 9$]$ abgeschlossenes Intervall beide Punkte voll
2 < $x$ < 9 $]$2; 9$[$ offenes Intervall beide Punkte leer
2 $<=$ $x$ < 9 $[$2; 9$[$ links abgeschlossenes, rechts offenes Intervall linker Punkt voll, rechter Punkt leer
2 < $x$ $<=$ 9 $]$2; 9$]$ links offenes, rechts abgeschlossenes Intervall linker Punkt leer, rechter Punkt voll
$-oo$ < $x$ $<=$ 9 $]$$-oo$; 9$]$ rechts abgeschlossenes, unbeschränktes Intervall Pfeil nach links, rchter Punkt voll
$-oo$ < $x$ < 9 $]$$-oo$; 9$[$ rechts offenes, unbeschränktes Intervall Pfeil nach links, rechter Punkt leer
2 $<=$ $x$ < $oo$ $[$2; $oo$$[$ links abgeschlossenes, unbeschränktes Intervall linker Punkt voll, Pfeil nach rechts
2 < $x$ < $oo$ $]$2; $oo$$[$ links offenes, unbeschränktes Intervall linker Punkt leer, Pfeil nach rechts

Im Falle, dass die Grundmenge $ZZ$ oder $NN$ ist, werden die einzelnen Zahlen nur als Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt!

Beziehungen zw. Mengen und Aussagen

Haben 2 Mengen genau dieselben Elemente, so heißen sie gleich, formal: A = B.

Verknüpfungen zw. Mengen und Aussagen

Mengenalgebra

VENN-Diagramme / Zugehörigkeitstafeln