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Addieren natürlicher Zahlen

Das Addieren (Zusammenzählen) kennst du schon aus der Volksschule, aber weißt du auch, dass die Zahlen bestimmte Namen haben?

Bezeichnungen bei der Addition:
24 + 3 = 27
  Summand   Summand   Summe  
Die Zahlen bei der Addition heißen Summanden, das Ergebnis Summe.         

Es gibt 2 Möglichkeiten, wie man Zahlen addieren kann.

Möglichkeit 1: Du schreibst alle Zahlen untereinander. Das kennst du sicher schon. Du musst nur darauf achten, dass die Stellenwerte richtig untereinander stehen, das heißt Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw. Dafür beginnst du am besten jeweils hinten, also bei den Einern, zu schreiben!

456
1 085
     34
1 575

Möglichkeit 2: Du rechnest in der Zeile. Dies scheint am Anfang sicher schwieriger, aber es gibt natürlich einen Trick, wie es viel leichter geht: Du addierst alle Einer (also jeweils die letzt Ziffer) und machst dabei unter jeder schon addierten Ziffer einen Punkt oder unterstreichst sie einfach. Genauso machst du es bei den Zehnern usw. So kann es dir nicht passieren, dass du eine Ziffer zweimal addierst!

In Textaufgaben erkennt man, dass man addieren muss, wenn eines oder mehrere der folgenden Wörter vorkommen: addieren, Addition, Summand, Summe, vermehren, vergrößeren.

Subtrahieren natürlicher Zahlen

Auch bei der Subtraktion haben die Zahlen bestimmte Namen:

Bezeichnungen bei der Subtraktion:
18 - 7 = 11
Minuend Subtrahend Differenz
Die erste Zahl bei der Subtraktion heißt Minuend, die zweite (dritte, vierte, ...) Subtrahend und das Ergebnis Differenz.

Bei der Addition hast du 2 Möglichkeiten kennen gelernt, wie man addieren kann. Diese beiden Möglichkeiten gibt es natürlich auch bei der Subtraktion. Es gilt genau dasselbe wie vorhin, nur mit dem Unterschied, dass du jetzt subtrahieren musst.

In Textaufgaben erkennt man, dass man subtrahieren muss, wenn eines oder mehrere der folgenden Wörter vorkommen: Minuend, Subtrahend, Differenz, Subtraktion, subtrahieren, wegzählen, verkleinern, vermindern.

Probe - Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion

Beim Rechnen ist es immer ganz günstig, wenn man sich selbst kontrollieren kann. Das ermöglicht die Probe. Die folgenden Rechnungen sind sehr einfach (also bitte nicht lachen), aber sie sollen dir zeigen, was mit Probe gemeint ist:

Angenommen, du hast folgendes gerechnet: 6 + 3 = 9.
Nun möchtest du überprüfen, ob das auch stimmt. Dazu nimmst du das Ergebnis (die Summe) und subtrahierst davon den letzten Summanden, also: 9 - 3 = 6. Es muss der andere Summand herauskommen - richtig gerechnet!! Natürlich kannst du auch den ersten Summanden nehmen, das bleibt dir überlassen - dann muss der zweite Summand herauskommen!

Nun berechnen wir folgendes: 12 - 4 = 8.
Bei einer Subtraktion gibt es 2 Möglichkeiten, wie man sie überprüfen kann:
Möglichkeit 1 (empfohlen): Du nimmst das Ergebnis (die Differenz) und addierst die zweite Zahl (den Subtrahenden): 8 + 4 = 12. Es muss die erste Zahl (der Minuend) herauskommen.
Möglichkeit 2: Du nimmst die erste Zahl (den Minuend) und subtrahierst das Ergebnis (die Differenz): 12 - 8 = 4. Es muss die zweite Zahl (der Subtrahend) herauskommen.

Daraus ergibt sich nun:

Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion: Die Addition ist die Umkehrung der Subtraktion und die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Diesen Zusammenhang verwendet man für die Probe.

Symbolisch: a + b = c, dann gilt: c - b = a und c - a = b

Rechenregeln

Die ersten Regeln werden dir etwas seltsam vorkommen, gehören aber zur Mathematik dazu!

Addiert (Subtrahiert) man zu (von) einer natürlichen Zahl die Zahl 0, so erhält man wieder die selbe Zahl.

Symbolisch: a + 0 = a, a - 0 = a

Subtrahiert man von einer natürlichen Zahl die Zahl selbst, so erhält man 0.

Symbolisch: a - a = 0

Nun kommen wir zu den richtigen Rechengesetzen: Susi rechnet 12 + 9 und erhält als Ergebnis 21. Jakob rechnet 9 + 12 und erhält ebenfalls 21. Ist das Zufall oder kann man immer die beiden Zahlen beim Addieren vertauschen? Versuche es anhand einiger Beispiele selbst, klicke erst dann auf den Button!   

Du hast es sicher selbst herausgefunden! Dies ist ein eigenes Rechengesetz:

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) der Addition:

Bei der Addition kann man die Summanden beliebig vertauschen, das Ergebnis ändert sich dadurch nicht!

Symbolisch: a + b = b + a

Gilt dieses Gesetz auch bei der Subtraktion? Versuche es anhand einiger Beispiele und klicke erst dann auf die Antwort!  

Betrachte nun folgende Rechnung: 12 + 18 + 34 + 16 =
Gibt es hier vielleicht eine Möglichkeit, ganz einfach zu rechnen?  

Um anzudeuten, dass man etwas zuerst rechnet, benutzt man in der Mathematik Klammern. Dadurch sieht die Rechnung nun so aus: (12 + 18) + (34 + 16) =
Du hast sicherlich schon das Ergebnis, nämlich 80. Du siehst, man muss nicht immer der Reihe nach rechnen, man kann es sich auch einfacher machen! Das Setzen von Klammern bei der Addition entspricht einem eigenen Gesetz, nämlich:

Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) der Addition:

Bei der Addition kann man beliebig Klammern setzen, das heißt Teilsummen bilden. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht!

Symbolisch: a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Wie das Vertauschungsgesetz gilt das Verbindungsgesetz auch nicht bei der Subtraktion !

Und für das Rechnen mit Klammern gibt es auch eine eigene Regel:

Klammernregel:

Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet werden!

Beispiel: Berechne möglichst einfach: 48 + 29 + 112 + 86 + 31 + 74 =
Schau' dir die Rechnung an, ob du die Zahlen so vertauschen und verbinden kannst, dass sich möglichst einfache Summen ergeben, also:
(48 + 112) + (29 + 31) + (86 + 74) = 160 + 60 + 160 = 380
Du hast hier alle 3 vorhergehenden Regeln angewandt!!

Leider kommt es sehr selten vor, dass du in einer Rechnung nur Additionen oder nur Subtraktionen vorfindest. Sehr oft kommen beide Rechnungen gemischt vor. Diese Rechnungen können sehr lange sein, wenn man alles einzeln ausrechnet, sozusagen "von vorne nach hinten". Aber natürlich gibt es auch dazu eine einfache Möglichkeit, um die Rechnung möglichst kurz zu halten:

Zusammenfassen mehrerer Summanden und Subtrahenden:

1. Bilde die Summe der Summanden
2. Bilde die Summe der Subtrahenden
3. Bilde die Differenz der beiden Ergebnisse

Beispiel: 521 - 963 + 74 - 33 + 751 =
Die obige Regel besagt, dass man zuerst die Summe der Summanden bilden muss, aber was sind in dieser Rechnung die Summanden? Die erste Zahl und alle Zahlen, die ein + vorher stehen haben, also:
      521 - 963 + 74 - 33 + 751 =
Alle übrigen Zahlen sind Subtrahenden.
Zu einer Summe zusammenfassen heißt, diese Zahlen in Klammern zu schreiben, also:
     (521 + 74 + 751) und (963 + 33)
BEACHTE: In den Klammern kommen nur Plus-Zeichen vor!!
Diese beiden Summen werden nun subtrahiert, also sieht unsere Rechnung nun wie folgt aus:
     (521 + 74 + 751) - (963 + 33) =
   = 1 346 - 996 =
   = 350

Das Wichtigste zu diesem Kapitel

Addieren

Die Zahlen bei der Addition heißen Summanden, das Ergebnis Summe.

Es gibt 2 Möglichkeiten, wie man addieren kann: in der Zeile und in der Spalte

Subtrahieren

Die erste Zahl bei der Subtraktion heißt Minuend, die zweite (dritte, vierte, ...) Subtrahend und das Ergebnis Differenz.

Wie bei der Addition gibt es auch bei der Subtraktion 2 Möglichkeiten zu rechnen: in der Zeile und in der Spalte.

Probe - Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion

Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion: Die Addition ist die Umkehrung der Subtraktion und die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Diesen Zusammenhang verwendet man für die Probe.
Symbolisch: a + b = c, dann gilt: c - b = a und c - a = b

Rechenregeln

Addiert (Subtrahiert) man zu (von) einer natürlichen Zahl die Zahl 0, so erhält man wieder die selbe Zahl.
Symbolisch: a + 0 = a, a - 0 = a

Subtrahiert man von einer natürlichen Zahl die Zahl selbst, so erhält man 0.
Symbolisch: a - a = 0

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) der Addition:
Bei der Addition kann man die Summanden beliebig vertauschen, das Ergebnis ändert sich dadurch nicht!
Symbolisch: a + b = b + a

Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) der Addition:
Bei der Addition kann man beliebig Klammern setzen, das heißt Teilsummen bilden. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht!
Symbolisch: a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Klammernregel:
Was in der Klammer steht, muss zuerst berechnet werden!

Zusammenfassen mehrerer Summanden und Subtrahenden:
1. Bilde die Summe der Summanden
2. Bilde die Summe der Subtrahenden
3. Bilde die Differenz der beiden Ergebnisse